M r D ž e v a d Z e č ić

OPIS RUKOPISA MATEMATSKOG DJELA

»HULASA AL-HISAB«

Islam ska srednjovjekovna znanost, je velikim dijelom bila na­ stavak postojeće grčke tradicije, koja je bila već na izmaku.

Tada je mnoštvo sačuvane grčke kulturne baštine prešlo u islam ­ ski svijet. Prevodi su uključivali radove iz m nogih znanosti, među k o jim a se posebna pažnja obraćala fizici, m in eralogiji, botanici, astro­ nom iji, g eo g ra fiji i matematici. Doprinos Arapa svjetskoj kulturi je bio ogrom an je r su staru grčku kulturu proširili i produbili i s njom upoznali Evropu.

Islam ski srednjovjekovni učenjaci su um nogom e doprinijeli sve­ ukupnom razvoju matematike asim ilirajući različite utjecaje kao što su b ili grčki, indijski i persijski.

Odnosi s In dijom donijeli su velike rezultate u matematici, je r poziciono pisanje brojeva na bazi decimalnog sustava i upotreba nule om ogućili su znatan napredak matematskih tehnika.

Arapska geom etrija je bila strogo deduiktivan sustav, kakav je dao Euklid, ali se u njemu nalaze i tragovi geom etrijske analize. Također su u algebri preuzeli o d ,Grka strog geom etrijski dokaz, ali i D iofan tovo izbjegavanje negativnih brojeva, što je b ilo protivno in­ dijskom shvaćanju.

U predočavanju jednadžbi Arapi napuštaju sinkopatski oblik i vraćaju se na retorički.

M nogi učenjaci su pisali o matematici i astronom iji, a najpozna­ tiji je bio Muhammad ibn Musa al-Havarizmi ( I X stoljeće) k o ji je napisao djelo K itab al-dzabr wa al-muqabala (K n jiga o uspostavlja­ nju i suprotstavljanju) i ono je znatno utjecalo na razvoj arapske m atematike, odnosno algebre ikoja je p o rije č i al-džabr i dobila ime. Po isk rivljen om obliku njegovog imena nazvan je algoritam.

M n ogobrojn i rukopisi na arapskom, iz područja različitih zna­ nosti, sm ješteni su u raznim svjetskim bibliotekam a i muzejima. U Gazi H u srevb egovoj biblioteci u Sarajevu među arapskim rukopi­ sima se nalaze djela iz gotovo svih oblasti islamskih znanosti, a p o­ sebno iz arapske filo lo gije, dogmatike, medicine, astronom ije, mate­ m atike i drugih znanosti.

O d matem atskih rukopisa izd vo jio bih dva. P rvi je pod naslovom

Muhtasar fi (ilm ) al-hisub, I dio, č iji je autor Abut-Mahasin Hasan

b. Abu Taliib al-Bayhaqf al Horasani, a prepisao ga je Im ad ibn Mu hammad 18. m aja 1340. (godine, i zapadna izvo ri ga ne poznaju. T o je jedinstven prim jerak u svijetu, što mu daje još veći značaj. D jelo sadrži matematske osnove, računske operacije i in dijske brojeve. Im a

136 strana. Drugi dio toga djela je o astronom iji.

Drugi rukopis je pod naslovom Hulasa al-hisab (Suština ma­ tematike) č iji je autor Bahadin Muhammad ibn Husayn al-'Amili.

Rođen je 9. 2. 1547. u Balbaku i preselio je sa svojim ocem u Iran. Po završetku svog studija putovao je ok o 30 godina i konačno se skrasio u Isfahanu gdje je na dvoru šaha Albaza i uživao veliki ugled kao Šayh al-islam. Tam o je i um ro 31. 8. 1621.1 B io je poznati matematičar, astronom i filozof. Ostavio je iza sebe m nogobrojna djela iz različitih oblasti kao što su književnost, teologija, arapski jezik, islamski misticizam, astronom ija i matematika.

Prepisi n jegovog najpoznatijeg matematskog djela Hulasa al-hi­ sab su sm ješteni po m nogobrojnim bibliotekam a i muzejim a.

U Gazi H u srevb egovoj biblioteci su propisi:

1) pod signaturom R-487 je rukopis č iji je prepisivač nepoznat, a završen je 1678. godine;

2) pod signaturom R-2551 j e rukopis č iji prepisivač i godina prepisa su nepoznati;

3) rukopis R-1418 je 1664. godine završio hadži Osman ibn hadži Omer;

4) rukopis R-1660/4 je završen 1723. godine i prepisivač je ne­ poznat;

5) pod signaturom R-1478/2 je komentar na d jelo Hulasa al-hi

sab i djelo je prepisano u Ed irni (Turska) 1767. godine:

6) pod signaturom 0-3494 je štampano djelo, takođe na arapskom, i štampano je u Istanbulu 1851. godine.

O vo djelo je traktat više enciklopedijskog karaktera i postiglo je veću popularnost od X V I I do X I X stoljeća o čemu svjedoče mno­ gobrojn i rukopisi ovoga djela i prevodi na evropske jezike, i to: 1843. godine na njem ački i 1846. godine na francuski jezik.

Opis rukopisa R-487

Dim enzija je 25 x 18 cm i ima devet listova (16 strana), od kojih je posljednji list dodat djelu Hulasa al-hisab i odnosi se na dva prim jera iz nasljednog prava, što bi mogao b iti rad prepisivača. Taj dodatak je sa potpisom izvjesnog Ramadana i on bi m ogao biti pre­ pisivač. Propis je završen 24. 2. 1088 (19. 1. 1678).

Sastoji se od uvoda, deset glava i pogovora, gd je se uglavnom naznačava sva matematska problem atika k o jom se bavilo do tog vremena.

U uvodu je dato određenje broja, oblik b roja i m jesto broja. Autor navodi da je »m atem atika znanost pomoću k o je se čo vjek

1 Carl Brockelmanm, Geshichte der Arabichen Litteratur, von C. Brookelmann, Leiden E.J. Brill 1949. (1938), istr. 546.

inform iše kako da izvede iz brojnih nepoznanica brojn e podatke, č iji je predm et b ro j.«2

Naglašava se da su od Indijaca preuzete oznake za devet cif ara: ipozicioni način pisanja.

Taj način /pisanja brojeva na bazi decim alnog sustava i upo­ treba nule omogućili su znatan napredak matematskih tehnika. U Evropu su poziciono pisanje brojeva prenijeli Arapi.

Prva glava je o aritim etici cijelih brojeva i podijeljena je na šest poglavlja: a) o oduzimanju, b) o sabiranju, c) o polovljen ju i udvajanju, d) o množenju, e) o d ijeljen ju i f) o vađenju kvadratnog korijena.

Uputstva za sve operacije su detaljno objašnjena uz numeričke p rim jere i načini operisanja se mnogo ne razliku ju od današnjeg. Radnje p o lovl jen ja (tansif) i udvajanja (tafriq) su b ile važne i sre­ ćemo ih u arapskoj literaturi već kod A l-H avarizm ija, a sačuvalo se p o tradiciji sve do A l-Am ilija.

O bje operacije su djelim ični slučajevi d ije ljen ja i množenja, ali su se vjerovatno zadržale da bi se olakšalo pam ćenje pravila vađenja kvadratnog korijena i ’ rješavanje kvadratnih jednadžbi. Uz sve ove operacije nalazimo načine provjere ovih radnji pomoću m izana (vage), odnosno kako navodi A l-A m ili: »Zapam ti da je mizan onaj broj k o ji je ostao nakon odbijanja (9— 9) .. .«3

P rovjera je osnovana na osnovu ostatka od d ijeljen ja svakog ci­ jelo g broja na 9 odnosno na osnovu dijeljen ja zbira cifara na 9, i provjera se sreće kako u arapskim priručnicima tako i u indijskim.

Druga glava je o aritim etici razlomaka i sastoji se od tri uvoda i šest poglavlja.

Prvi uvod je o opštim djeliteljim a, drugi je o nazivnicima i treći je o pretvaranju m ješovitih razlomaka u neprave i obratno. Prvo p o glavlje je o sabiranju i udvajanju razlomaka, drugo je o o polovljen ju i oduzimanju, treće je o množenju, četvrto o d ije lje ­ nju, peto je o vađenju kvadratnog korijena i šesto je o pretvaranju razlom aka u drugi razlomak.

Muslimanski srednjovjekovni matematičari, slijedeći Indijce, za­ pisivali su razlom ke u obliku k o ji je blizak savremenom; brojnilk su stavljali nad nazivnikom. U slučaju m ješovitog broja cijeli dio su pisali nad brojnikom . Crta između b rojnika i nazivnika slučajno se sreće oko 1200. godine kod zapadnoarapskog m atematičara Mu hammada al-Hasara i 1202. godine kod Italijana Leonarda Pizanlskog. Način pisanja razlomaka i njihovo izražavanje se zadržalo i do vre­ mena u kojem je živio A l-Am ili. Razlomačka crta se nije pisala i kod m ješovitih brojeva pisali su cijeli dio nad brojnikom .

Treća glava je o određivanju nepoznate »pom oću proporcija«. Način računanja nepoznate je »ako je jedna od strana nepoznata, p o d ijelit ćeš ravan dviju srednjih na poznate strane ili od dviju

2 Hulasa al-hisab, B. M. b. H. al-Amili; (R-487), Uvod. 3 Ibid., I glava, I poglavlje.

4 Ibid., I I I glava.

srednjih p o d ije lit ćeš ravan dviju strana na poznatu srednju.«4 Sa vrem enom sim bolikom ove dvije p rop orcije m ožem o napisati na slijedeći način:

x:a=ib :c, nepoznata je x = -----

a :x = b :c , nepoznata je x = -----

Četvrta glava je o određivanju nepoznatih pom oću d v ije greške, što čini algoritam automatskog rješenja b ilo k o jeg zadatka ko ji se izražava linearnom jednadžbom sa jednom nepoznatom . Za njegovu prim jenu n ije potrebno ni analizirati zadatak, n iti zapisivati ga u vidu jednadžbe, niti ga dovoditi u bilo k o ji kanonski oblik.

U p eto j glavi A l-A m ili daje još jedan postupak rješavanja li­ nearnih jednadžbi pod nazivom »o izvlačenju nepoznanice obratno«. Postupak se sastoji u obrnutom postupku od onoga kako je prob­ lem postavljen.

Šesta glava je o geom etriji i sastoji se od uvoda i tri poglavlja. Definiše se geom etrija kao » . . . znanost koja nas obavještava o kvantitetu vezano za čvrsto«,5 zatim se definiše prava, ravan i tijelo te načini računanja njihovih površina i volumena.

Ako se u uputama za računanje površina, obujm a i volumena uvrste današnji sim boli, dobijaju se form ule identične današnjim. Za broj uzim a se približna vrijednost 722 ili 371.

U sedm oj glavi je prim jena geom etrije u praktičnim prim je­ rima: nivelisanje tla, m jeren je dubine bunara, spoznaja pojedinih uzvisina, određivanje širine rijeka i upotreba astrolaba u iste svrhe. Iz prim jera » . . . postavi na zem lju ogledalo tako da vidiš vrh brda na tom ogledalu, pomnoži ono što se nalazi između ogledala i osnove sa svojim stavom i pod ijeli rezultat na ono što pretpostavlja razliku između ogledala i tvog položaja i taj rezultat je v is in a .. .«6 se lahko m ože zaključiti da se ovdje koristi osobina sličnosti pravokutnih trokuta.

U ostalim prim jerim a slično su korištene iste osobine. U istu svrhu je objašnjena upotreba astrolaba, a posebno za m jeren je du­ bine bunara i širine rijeka. Astrolab su pronašli Arapi na temelju Ptolom ejevih teoretskih radova, a služio je, u prvom redu, kao astro­ nomsko računalo.

Za detaljna objašnjenja i dokaze ovih m jeren ja Al- Ami li upu­ ćuje na kn jigu D žabr al-hisab (V elika knjiga), a posebno na svoje kom entare na persijs kom o astrolabu gdje su navedeni postupci na k o je do tada nilko n ije ukazao (Talikat ila asturlab — Zalbilješke o astrolabu).

Osma glava se sastoji od dva poglavlja. P rvo po gla vlje je o algebarskim stepenima i operacijam a njim a, a druga je o rješa­ vanju kvadratnih jednadžbi i prim jena m etoda al-džabr i al-muqabale. Još je Abu K a m il uveo viši stepen nepoznate. Vaši stepani nepoznate

5 Ibid., V I glava.

6 Ibid.. V I I glava. I I poglavlie.

su se izražavali preko šay (nešto) mal (sredstvo) i kab (kub). Al-

-Ami'li uVodi bilo kojeg reda stepene i kada bi šay' označili današ­ n jom sim bolikom sa x, onda bism o sa x2 m ogli označiti mal, a sa x3 kab. Onda je x4 kao mal al mal, x5 kao m al al kab itd. Tabelom je ilustriran način operisanja sa stepenima i sim obilčki zapisano svodi se na pravila:

Xn . Xm = X n + m

xn • xm= xn- m

Takođe se daju načini m noženja polinom a kao što je ovaj p rim jer: »M noženje 5 adeda bez šaya sa 7 adeda bez šaya je 35 adeda i 1 mal bez 12 šaya.«7

Sim bolički bi bilo: (5— x ) . (7— x) = 35 + x2— 12x.

Drugo poglavlje je posvećeno kvadratnim jednadžbama, njiho­ vom dovođenju na kanonski oblik, prim jena osnovnih operacija al

-džabr i al-maqabale i načini rješavanja različitih tipova kvadratnih jednadžbi.

Nepoznata se naziva »š a y « (nešto) kvadrat nepoznat je »m a l«

(sredstvo), a slobodni član »adea« (b ro j) ili »d irh em « (naziv srebrnog novca). Pošto se n ije operisalo negativnim brojevim a, postojalo je više tipova kvadratnih jednadžbi.

K od Al- Am ilija srećemo šest slijedećih tipova:

1) ax= b (šayi odgovaraju adedima — nepoznata odgovara broju )

2) ax2= b x (m alovi odgovaraju šayima-kvadrati odgovaraju nepoz­ n a to j)

3) ax2= c (m alovi odgovaraju adedima-kvadrati odgovaraju bro­ jevim a)

4) ax2+ b x = c (malovi i šayi odgovaraju adedima — kvadrati i nepoznate odgovaraju brojevim a)

5) ax2+ c = b x (m alovi i adedi odgovaraju šayima — kvadrati i b ro jevi odgovaraju nepoznatoj)

6) ax2= b x + c (m alovi odgovaraju šayima i adedima — kvad­ rati odgovaraju nepoznatim i broju).

Jednačine se dovode u kanonske form e uz pomoć dvije osnovne operacije: al-džabr i al-muqabala.

Al-džabr (dopunjavanje) je prenos umanjenih članova jednadžbe na drugu stranu u obliku dodatog člana, al-maqabala (izravnanje) je skraćivanje jednakih članova kod oba dijela jednadžbe.

Deveta glava je »o korisnim pravilim a«, gdje je dato dvanaest pravila i odnose se na određivanje suma prirodnih brojeva, parnih i neparnih, njihovih kvadrata, neke osobine b rojeva i njihovih kvad­ ratnih korijena i određivanje savešenih brojeva po Euklidu.

Deseta glava sadrži različite zadatke k o ji su riješeni pomoću više m etoda i to: proporcije, udvojeni lažni položaj, Obrnuti postupak itd.

U pogovoru su sedam »neispunjenih zadataka« ko ji su u većini slučajeva s iracionalnim rješenjim a.

U četvrtom neispunjenom zadatku treba »p o d ije liti kubni broj na dva kubna dijela«, što je dijelim ični slučaj velike teorem e Fermata.

-, V I I I glava, I poglavlje.

Uopće, m ože se zaključiti da je m atem atika u vremenu kada je nastalo djelo Hulasa al-hisab dostigla takav stupanj kada su se p o jedin im pravilim a iz geom etrije, a ritm e tik e i algebre dala neo­ dređenost i koja su se mogla shvatiti općenito. Ta pravila su se konkretizirala za pojedine numeričke prim jere.

N ije se učinio samo još jedan korak, kada je trebalo zam ije­ niti neodređene objekte odgovarajućim sim bolim a, pa da matem tika krene jednim drugim tokom, gdje b i se opća sim bolička algebra m ogla p rim ijen iti i na b rojeve i na geom etrijske objekte.

M atem atsko djelo ovoga tipa je prvi put napisano i autor u (pogovoru ističe: »Znaj, dragi prijatelju , k o ji težiš za rijetk im vri­ jednostim a, ja sam ti naveo u ovom traktatu ono što je suštinsko, one n ajh itn ije vrijednosti matematskih znanosti, zakona k o ji nisu do sada sabrani 'niti u jednom traktatu, n iti matematskom djelu.« Otuda i popularnost djela Hulasa al-hisab i ono je u periodu od X V I I do X I X stoljeća najviše korišteno za matem atsko obrazovanje, odnosno služilo je kao udžbenik.

M noštvo prepisa ovog djela sm ješteno je po svjetskim bibli­ otekam a i muzejima, što govori u prilog činjenici da je najviše ko­ rišteno m atem atsko djelo.

Takođe u Gazi Husrev-begovoj biblioteci u Sarajevu je najviše rukopisa ovog matematskog djela, te je ono najviše korišteno u Bosni i H ercegovini za vrijem e turske vladavine i po njemu se može suditi o matematskom obrazovanju. Također, ono daje solidan uvid u p o vijest arapske matematike.

S U M M A R Y

DESCRIPTION OF THE MANUSCRIPT ON MATHEMATICS ENTITLED »HULASA AL-HI• SAB«

The w o rk on mathematics entitled »H ulasa al-hisab« (Substance o f mathematics) was w ritten by Bahaadin Muhammad b. Husayn al-Amili w h o was born in Balbaka on February 9, 1547, and later lived in Iran. At the court o f Shah Abaz I at Isfahan he enjoyed a great reputation as a Sheikh o f Islam. There he died on August 31, 1621.

The w ork consists o f an introduction, ten chapters and an epi logue which designates all the mathematical problem s which he had treated until that time.

There are many translations o f this w ork, some o f which are housed in the Gazi Husrevbeg Library.

The w o rk is m ostly o f an encyclopaedic character. I t was po pular fro m the X V IIt h to the X IX th century, as numerous trans­ lations testify.